- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

吉林省长春市绿园区2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

（基础知识）

（1）、古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales ，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于 $\text{[math]}$ ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中，

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：延长线段 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，并过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ （已作），

∴ ▲ $\text{[math]}$ （两直线平行，内错角相等），

▲ $\text{[math]}$ （两直线平行，同位角相等）．

∵ ▲ （平角的定义），

∴ $\text{[math]}$ （等量代换）．

（2）、（实践运用）如图1，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试证明： $\text{[math]}$ ．

证明：

（3）、（变化拓展）

①如图2， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ；

②如图3，直线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ．