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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

山东省德州市临邑武城禹城县联考2021年中考数学一模试卷

在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线与 $\text{[math]}$ 交与点F，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、探究：以A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ （如图1）．求证： $\text{[math]}$ ；

（2）、应用：点E在 $\text{[math]}$ 边上移动，当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线分别交于点M、N．（如图2）．求证： $\text{[math]}$ ；

（3）、类比：将正方形改为长与宽不相等的矩形，在（2）的条件下，其余条件不变（如图3），直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

举一反三

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 的外侧，作等边角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D是AB边上一点 $\text{[math]}$ 点D与A，B不重合 $\text{[math]}$ ，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE.

如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点.

如图①，已知点O为正方形 $\text{[math]}$ 的对角线的交点，点P是对角线 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点P不与 $\text{[math]}$ 重合），分别过点 $\text{[math]}$ 向直线 $\text{[math]}$ 作垂线，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

如图，点B ， E ， C ， F在一条直线上， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是 $\text{[math]}$ ，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形．

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