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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

江西省赣州市于都县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

（问题提出）如图1，在等边三角形 $\text{[math]}$ 内部有一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数．

（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．

（1）、（尝试解决）

将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等边三角形．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 为三角形

$\text{[math]}$ 的度数为．

（2）、（类比探究）

如图2，在等边三角形 $\text{[math]}$ 外部有一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．

（3）、（联想拓展）

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙），此时AB与 CD₁交于点O，则线段AD₁的长为（）

如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为{#blank#}1{#/blank#}（结果保留π）．

如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上.将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上，则 $\text{[math]}$ 的大小为（）

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后得到△A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ C，再将△A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ C沿 CB 向右平移，使点 B $\text{[math]}$ 恰好落在斜边 AB 上，A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ 与 AC 相交于点 D.

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