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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河北省衡水市景县第二中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

（材料学习）

小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰．

如图（1），在等腰三角形纸片 $\text{[math]}$ 上，画底边 $\text{[math]}$ 的平行线 $\text{[math]}$ 可得到一个梯形 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可知 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．

定义：像梯形 $\text{[math]}$ ，两腰相等的梯形称为等腰梯形．

几何语言：如图（1）， $\text{[math]}$ 在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 梯形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形．

如果把图（1）的等腰三角形纸片 $\text{[math]}$ 沿顶角平分线 $\text{[math]}$ 折叠，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，由于 $\text{[math]}$ ，可知点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，如图（）2，于是 $\text{[math]}$ ．由此，我们可以得到如下结论：

①等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴，

②等腰梯形在同一底上的两个角相等，

③等腰梯形的对角线相等．

（探究归纳）

利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，我们还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形?

（1）、如图（3），在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求证：梯形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形；

（2）、通过（1）的证明可知：的梯形是等腰梯形；

（3）、如图（4），在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求证：梯形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形．

（4）、通过（3）证明可知：的梯形是等腰梯形；

举一反三

以线段AC为对角线的四边形ABCD（它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列），已知AB=BC=CD，∠ABC=100°，∠CAD=40°；则∠BCD的大小为{#blank#}1{#/blank#}．

定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似.复数的乘方意义与有理数的乘方的意义类似，例如：

i³=i•i•i=i²•i=﹣i

根据以上信息，完成下列问题：

若规定图形

表示运算a－b＋c，图形

表示运算x＋z－y－w，则

＝{#blank#}1{#/blank#}．

对于有理数a、b，定义运算：“★”，当a≥b时，a★b=2a-3b，当a＜b时，a★b= $\text{[math]}$ .

定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.5]＝3，[0.5]＝0，[﹣2.5]＝﹣3.对于任意实数，下列式子中错误的是（）

阅读材料，善于思考的小军在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形： $\text{[math]}$

即 $\text{[math]}$ ③

把方程①代入③得 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

把 $\text{[math]}$ 代入①得 $\text{[math]}$

∴方程组的解为 $\text{[math]}$

请你解决以下问题：

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