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题型：实践探究题题类：常考题难易度：困难

北京市第十九中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

对于△ABC及其边上的点P ，给出如下定义：如果点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 都在△ABC的边上，且 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 为△ABC关于点P的等距点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……， $\text{[math]}$ 为△ABC关于点P的等距线段.

（1）、如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC ，点P是BC的中点.

点B ， C△ABC关于点P的等距点，线段PA ， PB△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）

（2）、△ABC关于点P的两个等距点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边AB ， AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（3）、△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C ， D是△ABC关于点P的等距点，且PC=1，求线段DC的长；

（4）、如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C.若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 长的取值范围.（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

举一反三

对于实数a，b，定义运算“*”： $\text{[math]}$ ，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2= $\text{[math]}$ -4×2=8．若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ -5x+6=0的两个根，则 $\text{[math]}$ 的值是{#blank#}1{#/blank#}．

按给出程序计算，输入x=-3，则输出结果是{#blank#}1{#/blank#}。

数学家发明了一个魔术盒，当任意数对 $\text{[math]}$ 放入其中时，会得到一个新的数： $\text{[math]}$ ．例如把 $\text{[math]}$ 放入其中，就会得到 $\text{[math]}$ ．现将数对 $\text{[math]}$ 放入其中得到数m={#blank#}1{#/blank#}，再将数对 $\text{[math]}$ 放入其中后，得到的数是{#blank#}2{#/blank#}．

对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们用符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 两数中较大的数，如 $\text{[math]}$ ，

如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．以下五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 是等边三角形；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的有（）个

对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为m，如果 $\text{[math]}$ 存在“最优覆盖菱形”为菱形 $\text{[math]}$ ，那么m的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

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