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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京市第三十五中学2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；图②中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 重合在一起，并将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向移动．在移动过程中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点始终在 $\text{[math]}$ 边上(移动开始时点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合)．

（1）、在 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向移动的过程中，刘卫同学发现： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离逐渐．(填“不变”、“变大”或“变小”)

（2）、刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当 $\text{[math]}$ 移动至什么位置，即 $\text{[math]}$ 的长为多少时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的连线与 $\text{[math]}$ 平行?

问题②：当 $\text{[math]}$ 移动至什么位置，即 $\text{[math]}$ 的长为多少时，以线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在 $\text{[math]}$ 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ ?如果存在，

求出 $\text{[math]}$ 的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

举一反三

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，一边上高为 $\text{[math]}$ ，求底边 $\text{[math]}$ 的长（注意：请画出图形）．

把两个同样大小含 $\text{[math]}$ 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，且另外三个锐角顶点 $\text{[math]}$ 在同一直线上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕顶点C逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 的中点，P是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E从C点出发向终点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF∥AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为{#blank#}1{#/blank#}

某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

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