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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

浙江省金华市婺城区2018-2019学年八年级上学期数学期末考试试卷

定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”

（1）、判断下列两个命题是真命题还是假命题 $\text{[math]}$ 填“真”或“假” $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 等边三角形必存在“和谐分割线”

$\text{[math]}$ 如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．

命题 $\text{[math]}$ 是命题，命题 $\text{[math]}$ 是命题；

（2）、如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探索 $\text{[math]}$ 是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．

（3）、如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若线段CD是 $\text{[math]}$ 的“和谐分割线”，且 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求出所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的度数．

举一反三

如图（1），PT与⊙O₁相切于点T，PAB与⊙O₁相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT²=PA•PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O₂相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD={#blank#}1{#/blank#}．

△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且c²﹣4ac+4a²=0，则sinA+cosA的值为（）

如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，点E是弧AB的中点，连结OE，交AB于点D，再连结CD，若tan∠CDB= $\text{[math]}$ ，则AB与DE的数量关系是（）

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．

下列命题中，正确的是（）

如图，在 $\text{[math]}$ 中，过点C作 $\text{[math]}$ ，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．

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