八省联考2021年1月数学普通高等学校招生全国统一考试适应性测试试卷

修改时间：2021-05-20 浏览次数：394 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 均为 $\text{[math]}$ 的子集，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ，有下列四个命题：甲： $\text{[math]}$ 是该方程的根；乙： $\text{[math]}$ 是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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4. 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是（）

A . 60 B . 80 C . 84 D . 120

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上三点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 B . $\text{[math]}$ 有两个零点 C . 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处切线的斜率为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是偶函数

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10. 设 $\text{[math]}$ 为复数， $\text{[math]}$ ．下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减

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三、填空题

13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为．

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14. 写出一个最小正周期为2的奇函数 $\text{[math]}$ ．

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15. 对一个物理量做 $\text{[math]}$ 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 $\text{[math]}$ ，为使误差 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的概率不小于0.9545，至少要测量次（若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）．

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16. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，．

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四、解答题

17. 已知各项都为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的通项公式．

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18. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．

（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；

（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

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20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $\text{[math]}$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\text{[math]}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $\text{[math]}$ ，故其总曲率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 $\text{[math]}$ ，证明：这类多面体的总曲率是常数．

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21. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的离心率；

（2）若 $\text{[math]}$ 在第一象限，证明： $\text{[math]}$ ．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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