- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

吉林省长春市汽开区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．

【问题背景】如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数，若以点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 长为半径作辅助圆 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 必在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的圆心角，而 $\text{[math]}$ 是圆周角，从而容易得到 $\text{[math]}$ 的度数为．

【深入探究】如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

下面是小明的部分解题过程：

解：在矩形 $\text{[math]}$ 外，以边 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再以点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ．

∵点 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，

∴点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的劣弧 $\text{[math]}$ 上运动．

连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，此时， $\text{[math]}$ 最小．

在 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

请你补全余下的解题过程．

【拓展应用】如图③，某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地 $\text{[math]}$ ，其中． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为了美化环境，要求四边形 $\text{[math]}$ 的面积尽可能大，则绿化区域 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．