- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

广东省深圳市龙岗区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

（1）、下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）

当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，

如图1，将 $\text{[math]}$ 绕，点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 为 ① 三角形，故 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，

由 ② 可知，当B，P， $\text{[math]}$ ， A在同一条直线上时， $\text{[math]}$ 取最小值，如图2，最小值为 $\text{[math]}$ ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 $\text{[math]}$ ③ ；

已知当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 $\text{[math]}$ ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．

（2）、如图4，在 $\text{[math]}$ 中，三个内角均小于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知点P为 $\text{[math]}$ 的“费马点”，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）、如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 $\text{[math]}$ ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ $\text{[math]}$ ， a元/ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 元/ $\text{[math]}$ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）

举一反三

如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED=（　　）

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，将△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁ ， A₁B交AC与点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D，F分别在AB，AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x²﹣4x+a=0的两个实数根．

在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P₁ ，再将点P₁绕原点旋转90°得到点P₂ ，则点P₂的坐标是（）

已知：如图，点E、F 分别在菱形ABCD 的边BC、CD上，且BE=DF. 求证： AE=AF.

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