- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

2024年浙江中考数学模拟题临考安心卷2

定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

（1）、如图①，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，是矩形 $\text{[math]}$ “梦之点”的是；

（2）、如图②，已知点A，B是抛物线 $\text{[math]}$ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）、在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以 $\text{[math]}$ 为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，在菱形ABCD中，AD=2，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿QC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）

如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点；

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，始终等于它到定直线l： $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线方程为l： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；

【技能训练】

（2）如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

【能力提升】

（3）如图3，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m： $\text{[math]}$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线m的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 内有一定点 $\text{[math]}$ ，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 $\text{[math]}$ 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点P到点 $\text{[math]}$ 的距离等于点P到直线l： $\text{[math]}$ 的距离．