- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $\text{[math]}$ 的距离PF ，始终等于它到定直线1： $\text{[math]}$ 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H ．其中原点O为FH的中点， $\text{[math]}$ ．

例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线表达式为l： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）、【基础训练】请分别直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的表达式；

（2）、【技能训练】如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

（3）、【能力提升】

如图3，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线为l ．直线m： $\text{[math]}$ 交y轴于点C ，抛物线上动点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线m的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；

（4）、【拓展延伸】把抛物线 $\text{[math]}$ 沿y轴向下平移2个单位得抛物线 $\text{[math]}$ ，如图4，点 $\text{[math]}$ 是第二象限内一定点，点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点．当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请求出△POD的面积．