- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

2024年广东省深圳市福田区深大附中创新中学中考二模数学试题

【问题情境】

如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ．将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，且长度变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，得到线段 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．数学兴趣小组着手研究 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的值是定值．

【探究实践】

老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现 $\text{[math]}$ 的取值与 $\text{[math]}$ 为定值的关系，再探究图 $\text{[math]}$ 中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．

经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，小明发现：“当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 恰好重合， $\text{[math]}$ 的值是定值”．小华给出了解题思路，连接 $\text{[math]}$ ，易证 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ 的值是；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，小华发现：“当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；

【拓展应用】

（3）如图 $\text{[math]}$ ，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接 $\text{[math]}$ ，只要确定 $\text{[math]}$ 的长，就能求出 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的定值．