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题型：综合题题类：难易度：困难

吉林省长春市宽城区2023年中考一模数学试题

在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．点P在直线 $\text{[math]}$ 上运动（点P不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为m．

（1）、求这条抛物线所对应的函数表达式．

（2）、求线段 $\text{[math]}$ 的长．（用含m的代数式表示）

（3）、以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 轴，且点N的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

①当矩形 $\text{[math]}$ 的面积被坐标轴平分时，求m的值．

②当矩形 $\text{[math]}$ 的周长随m的增大而增大，且矩形 $\text{[math]}$ 的边与抛物线 $\text{[math]}$ 有两个交点时，直接写出m的取值范围．

举一反三

如图，已知抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

若二次函数y=x²＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x²＋bx =5的解为（）

若二次函数 $\text{[math]}$ 的图像记为 $\text{[math]}$ ，其顶点为 $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像记为 $\text{[math]}$ ，其顶点为 $\text{[math]}$ ，且满足点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x=﹣1．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

定义：若抛物线L：y＝ax²+bx+c的图象恒过定点M（x₀ ， y₀），则称M（x₀ ， y₀）为抛物线L的“不动点”.已知：若抛物线L：y＝ax²﹣2ax+x+1（a＜0）；

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