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题型：综合题题类：难易度：困难

浙江省杭州市富阳区余杭区2023年中考一模数学试题

如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA.点D，E分别是AC，BC上的点，且BE=CD.过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点.

（1）、求证：△ABC是等边三角形；

（2）、探索FN与MD的数量关系，并加以证明；

（3）、点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若ʘO的半径为2，则点H运动的路径长是多少？

举一反三

底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是{#blank#}1{#/blank#}

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O半径长为{#blank#}1{#/blank#} cm．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．如果将该三角形绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 的中点处．那么旋转的角度等于{#blank#}1{#/blank#}．

如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，求AB的长.

如图，⊙O中，AD、BC是⊙O的弦，AO⊥BC，∠AOB=50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）

学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，若E为 $\text{[math]}$ 中点，则有 $\text{[math]}$ ．请利用以上方法解决下列问题．

问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线 $\text{[math]}$ ，并在直线 $\text{[math]}$ 上依次取C点和D点，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，补全图形，指出测量哪条线段就可知道 $\text{[math]}$ 的长，请加以证明．

问题2：【深入思考】如图3，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．

问题3：如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长______．

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