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题型：实践探究题题类：模拟题难易度：困难

广东省深圳市27校2022年九年级4月联考（二模）数学试题

胡老师的数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 点E、F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角为 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数与x、y、 $\text{[math]}$ 的关系．

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）、填空：

【问题发现】

小明研究了 $\text{[math]}$ 时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了 $\text{[math]}$ 时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\text{[math]}$ 时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\text{[math]}$ （用含x、y的式子表示）； $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

（2）、求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）．

举一反三

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在坐标轴上，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转角度 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，得到正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= $\text{[math]}$ ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.

如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°， ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

②如图丙，在顶点G运动的过程中，若 $\text{[math]}$ ，探究线段EC、CF与BC的数量关系；

（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF= $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＞2时，求EC的长度．

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