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题型：实践探究题题类：模拟题难易度：普通

北京市高级中等学校2020年招生考试数学模拟试题二

若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $\text{[math]}$ ，我们可将这个两位数记为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $\text{[math]}$ ．

（1）、【基础训练】
解方程填空：

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

（2）、【能力提升】
交换任意一个两位数 $\text{[math]}$ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除， $\text{[math]}$ 一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

（3）、【探索发现】

北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 $\text{[math]}$ ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；

②设任选的三位数为 $\text{[math]}$ （不妨设 $\text{[math]}$ ，试说明其均可产生该黑洞数．

举一反三

由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得：（a+b）（a²－ab+b²）=a³－a²b+ab²+a²b－ab²+b³=a³+b³ ，即（a+b）（a²－ab+b²）=a³+b³①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形正确的是（）

甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，他们相约在每个星期天相互交换读完的书.经过数次交换后，他们都读完了这3本书。若乙读的第三本书是丙读的第二本书，则乙读的第一本书是甲读的（）

观察下列算式，寻找规律，理由规律解答后面的问题：

1×3+1=4=2² ， 2×4+1=9=3² ， 3×5+1=16=4² ， 4×6+1=25=5² ， …，

观察下表，若用有序实数对（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）表示第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 列的数，如：（4，3）表示实数6，则（20，18）表示的数是（）

如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是{#blank#}1{#/blank#}．

计算2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测2²⁰¹⁹-1的个位数字是{#blank#}1{#/blank#} 。

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