重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题

修改时间：2025-01-02 浏览次数：10 类型：月考试卷编辑

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的真子集的个数为（）

A . 7 B . 8 C . 31 D . 32

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 8

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知α， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 命题 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为减函数，命题 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为增函数，则命题 $\text{[math]}$ 是命题 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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7. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
人数
1
2
6
5
4
2
下列说法正确的是（）

A . 这20人年龄的 $\text{[math]}$ 分位数的估计值是46.5 B . 这20人年龄的中位数的估计值是41 C . 这20人年龄的极差的估计值是55 D . 这20人年龄的众数的估计值是35

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，现采用分层抽样的方法从中抽取 $\text{[math]}$ 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的 $\text{[math]}$ 人中有 $\text{[math]}$ 人对此感兴趣，有 $\text{[math]}$ 人不感兴趣，现从这 $\text{[math]}$ 人中随机抽取 $\text{[math]}$ 人做进一步的深入访谈，用 $\text{[math]}$ 表示抽取的 $\text{[math]}$ 人中感兴趣的学生人数，则（）

A . 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 $\text{[math]}$ 人、 $\text{[math]}$ 人、 $\text{[math]}$ 人 B . 随机变量 $\text{[math]}$ C . 随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望为 $\text{[math]}$ D . 若事件 $\text{[math]}$ “抽取的3人都感兴趣”，则 $\text{[math]}$

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10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $\text{[math]}$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后所得三条曲线与 $\text{[math]}$ 围成的（如图阴影区域）， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与其中两条曲线的交点，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 开口向上的抛物线的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\text{[math]}$ D . 阴影区域的面积大于4

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ ， A是 $\text{[math]}$ 之间的一定点并且点A到 $\text{[math]}$ 的距离分别为1，2，B是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，作 $\text{[math]}$ ，且使AC与直线 $\text{[math]}$ 交于点C， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 一个词典里包含 $\text{[math]}$ 个不同的单词，其中有 $\text{[math]}$ 个以字母“ $\text{[math]}$ ”开头，其余以其他字母开头.从中选择 $\text{[math]}$ 个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“ $\text{[math]}$ ”开头，一共有个这样的子集.（要求用数字作答）

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13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，若 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 恰有3个零点时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转一周形成的几何体的体积；

（2）点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ .

（1）求角 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 外接圆的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 周长的取值范围.

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17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 $\text{[math]}$ ，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为 $\text{[math]}$ ，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为 $\text{[math]}$ ，如此往复．（提示：设 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 天选择绿豆汤）

（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率

（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

（3）记该同学第 $\text{[math]}$ 天选择绿豆汤的概率为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的通项公式.

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，公比 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
（i）求数列 $\text{[math]}$ 的前2024项和；
（ii）求 $\text{[math]}$ .

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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若互相垂直的两条直线 $\text{[math]}$ 均过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 分别为弦 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
①求 $\text{[math]}$ ；
②记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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年龄	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
人数	1	2	6	5	4	2

重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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