浙教版数学八年级暑假知识训练：一元二次方程的实际应用

1. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金 $\text{[math]}$ 万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为 $\text{[math]}$ 万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x ，则所列方程正确的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ =3.2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，在一块长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形 $\text{[math]}$ 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 $\text{[math]}$ .设道路宽为 $\text{[math]}$ ，则以下方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为 $\text{[math]}$ 尺，则可列方程为(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）

A . 20（1+2x）＝31.2 B . 20（1+2x）﹣20＝31.2 C . 20（1+x）²＝31.2 D . 20（1+x）²﹣20＝31.2

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5. 某公司今年1月的营业额为2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元，求该公司2月和3月两个月的月平均增长率．设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x ，则可列方程（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 某医疗物资制造厂原来每件产品的生产成本是100元，为提高生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本后，成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（）

A . 8.5% B . 9% C . 9.5% D . 10%

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7. 某商店销售连衣裙，每条盈利 $\text{[math]}$ 元，每天可以销售 $\text{[math]}$ 条.商店决定降价销售，经调查，每降价 $\text{[math]}$ 元，商店每天可多销售 $\text{[math]}$ 条连衣裙.若想要商店每天盈利 $\text{[math]}$ 元，每条连衣裙应降价（）

A . $\text{[math]}$ 元 B . $\text{[math]}$ 元 C . $\text{[math]}$ 元 D . $\text{[math]}$ 元或 $\text{[math]}$ 元

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8. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则此直角三角形的斜边长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 13 D . 5

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9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍数是（）

A . 8 B . 10 C . 7 D . 9

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10. 一个长方形纸片内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图1放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为8cm²；按照图2 放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm².当把两个小正方形纸片按照图3放置时，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为（）

A . 5cm² B . 6cm² C . 7cm² D . 8cm²

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11. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是

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12. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为.

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13. 某可降解吸管生产企业今年2月(28天)可降解吸管平均日产量为100万支。为满足市场需求，该公司改进生产技术，使得可降解吸管产量在2月的基础上逐月提高，已知今年4月的可降解吸管总产量为3388万支.若3月和4月的可降解吸管月产量增长率相同，则每月的增长率为.

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14. “赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，空白部分的面积为 $\text{[math]}$ ，大正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．
图1 图2

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15. 古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以 $\text{[math]}$ 为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，即可求得 $\text{[math]}$ ．小明用此几何法解关于x的方程 $\text{[math]}$ ，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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16. 有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于 $\text{[math]}$ 的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和 $\text{[math]}$ 的矩形，再把它补充成一个边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形，我们得到大正方形的面积为 $\text{[math]}$ （因为 $\text{[math]}$ ）．所以大正方形边长为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．思考：当我们用这种方法寻找 $\text{[math]}$ 的解时，如图2中间小正方形的边长x为；阴影部分每个正方形的边长为．

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17. 举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨(如图)之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时

（1）列车在冻土地段行驶3小时的路程为千米，行驶a小时的路程为千米(用含a的代数式表示) ；

（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要a小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？

（3）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要b小时，在(2)的条件下，若取a=5，b =4，求西宁到格尔木这段铁路长为多少千米？

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18. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．

（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？

（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？

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19. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的 $\text{[math]}$ 汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现 $\text{[math]}$ 汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.

（1）求 $\text{[math]}$ 汽车销量的月平均增长率.

（2）为了扩大 $\text{[math]}$ 汽车的市场占有量，提升 $\text{[math]}$ 汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施(降价幅度不超过售价的10%)，经调查发现，当 $\text{[math]}$ 汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若 $\text{[math]}$ 汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆.若销售额要达到440万元，则每辆 $\text{[math]}$ 汽车需降价多少万元?

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20. 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．

（1）求A型设备每小时铺设的路面长度；

（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了 $\text{[math]}$ 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了 $\text{[math]}$ 米，而使用时间增加了 $\text{[math]}$ 小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 如图是2024年1月的日历，1月1日下方标有“元旦”二字。“元旦"意为“初始之日”。中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦.在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数.

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22. 饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．

（1）设EF的长为x米，则DE＝米；（用含x的代数式表示）

（2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；

（3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．

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23. 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发，沿射线 $\text{[math]}$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设 $\text{[math]}$ 的面积为S ，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（3）当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

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24. 根据以下素材，探索完成任务．

如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景	学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高 $\text{[math]}$ ，容积 $\text{[math]}$ 的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于 $\text{[math]}$ （纸板的厚度忽略不计）．
方案	初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $\text{[math]}$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
	改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $\text{[math]}$ ，横着裁剪 $\text{[math]}$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1	判断方案	请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2	改进方案	改进方案中，当 $\text{[math]}$ 时，求x的值．
任务3	探究方案	当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．