浙教版数学七年级暑假知识训练：因式分解的方法

1. 下列计算正确的是（）

A . （﹣m²n）³＝﹣m⁶n³ B . m⁵﹣m³＝m² C . （m+2）²＝m²+4 D . m²·m³＝m⁶

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2. 对于任何整数 $\text{[math]}$ ，多项式 $\text{[math]}$ 都能被（）

A . 8整除 B . $\text{[math]}$ 整除 C . $\text{[math]}$ 整除 D . $\text{[math]}$ 整除

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3. 用提取公因式法分解因式，下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 将下列多项式分解因式，结果中不含有因式x-1的是（）

A . x²-1 B . x²-x C . x²+2x+ 1 D . x²-2x+1

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6. 下列等式，成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若多项式 $\text{[math]}$ 可以因式分解为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3
B . 2
C . 1
D . -1

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8. 把 $\text{[math]}$ 因式分解，正确的是（）

A . $\text{[math]}$
B . $\text{[math]}$
C . $\text{[math]}$
D . $\text{[math]}$

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9. 下列多项式因式分解：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将 $\text{[math]}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A . 爱我中华 B . 我游中华 C . 中华美 D . 我爱美

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11. 分解因式：x²+2x+1=．

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12. 因式分解2x²﹣4x+2=．

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13. 因式分解：x²y+2xy＝．

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14. 分解因式： $\text{[math]}$ .

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15. 计算：2024²﹣2025×2023＝．

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16. 若两个正整数x ， y满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称x ， y是一组“美丽数”，记为 $\text{[math]}$ ，则美丽数一共有组．

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17. 因式分解：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ；

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18. 分解因式：

（1） 36x²-60xy+25y²

（2） - 4x²+12xy-9y² ．

（3） -2xy-x²-y² ．

（4） ab⁴-4ab³+ 4ab²

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19. 用添拆项法将下面各式分解因式：

（1） x⁴+4y⁴ ．

（2） x²- 2ax-b²- 2ab．

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20. 用换元法分解因式： m(m+2)(m²+2m-2)-3．

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21. 用分组分解法将下列多项式分解因式：

（1） 2a+4b-3ma- 6mb．

（2） 25-4x²+4xy-y² ．

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22. 用十字相乘法将下列各式分解因式：

（1） x² +7x+12．

（2） a²-7a-18．

（3） a²+5ab+ 6b² ．

（4） a²+ 5ab-6b² ．

（5） 5x²+7x- 6．

（6） 3x²-19x-14．

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23. 将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．

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24. 下面是某同学对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程．
解：设 $\text{[math]}$ ，
原式 $\text{[math]}$ （第一步）
$\text{[math]}$ （第二步）
$\text{[math]}$ （第三步）
$\text{[math]}$ （第四步）
回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解．

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25. 小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
$\text{[math]}$

（1）请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；

（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ²ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．

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26. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x²-2xy+y²-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x²-2xy+y²-16＝（x-y）²一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：

（1） 9a²+4b²-25m²-n²+12ab+10mn；

（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a²+b²+c²-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

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27. [阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法。
如：对于a²+6a+8．（1）用配方法分解因式。（2）当a取何值时，代数式a²+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式=a² +6a+8+1-1=a²+ 6a+9-1=（a+3）²-1= [（a+3）+1][（a+3）-1]=（a+ 4）（a+2）．（2）对于（a+3）²-1，（a+3）²≥0．所以，当a=-3时，代数式a² +6a+8有最小值，最小值是-1．
[问题解决]利用配方法解决下列问题：

（1）用配方法因式分解：x²+2x- 3．

（2）当x取何值时，代数式x²+2x-3有最小值？最小值是多少？

（3）若a²+b²-2a+46+5=0，求2a+b的值．

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28. 阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式 $\text{[math]}$ 的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式： $\text{[math]}$

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29. 【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项．
例 1 分解因式： $\text{[math]}$
解：原式 $\text{[math]}$
例 2 分解因式： $\text{[math]}$
解：原式 $\text{[math]}$
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$

（2）运用拆项添项法分解因式： $\text{[math]}$ ．

（3）化简： $\text{[math]}$ ．

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30. 阅读材料：
分解因式： $\text{[math]}$ 这种分解因式的方法称为“分组分解法”.
请用“分组分解法”分解因式：

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$

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浙教版数学七年级暑假知识训练：因式分解的方法

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、计算题（共6题，共51分）

四、解答题（共3题，共20分）

五、实践探究题（共5题，共31分）

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