2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破2 平行线的相关模型

修改时间：2024-04-18 浏览次数：55 类型：复习试卷编辑

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一、猪蹄模型

1. 如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）

A . ∠β=∠α+∠γ B . ∠α+∠β+∠γ=180° C . ∠α+∠β-∠γ=90° D . ∠β+∠γ-∠α=90°

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2.
如图，AB∥EF ，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（）

A . ∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360° B . ∠A＋∠D＝∠C＋∠E C . ∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180° D . ∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°

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3. 如图，若 $\text{[math]}$ ，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. ①如图1， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②如图2， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③如图3， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④如图4， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．以上结论正确的个数是（）

A . ①②③④ B . ①②③ C . ②③④ D . ①②④

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5.
如图，直线l₁∥l₂ ， ∠α=∠β，∠1=50°，则∠2=．

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6. 如图，直线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为°．

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7. 如图，直线l₁∥l₂ ， ∠BAE＝125°，∠ABF＝85°，则∠1＋∠2=．

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8. 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.

（1）如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.

（3）如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.

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9. 如图

（1）如图一， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（2）如图二， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的数量关系为．

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10. 阅读资料：在学习平行线知识的时候，小敏同学发现有的图形（如图1），不属于两条平行线被第三条直线所截的图形，不能直接应用平行线的性质解决问题．经过思考，小敏想到，若过点C作CF∥AB（如图2），这样就多了一个已知条件，问题就可以解决了．

请你参考小敏同学的方法，解决下面问题：

（1）如图2，已知AB∥DE，用等式表示∠B，∠E，∠BCE之间的数量关系，并说明理由．

（2）如图3，已知AB∥DE，直接用等式表示出∠B，∠E，∠BCE之间的数量关系．

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11.

（1）感知与探究：如图①，直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；

（2）应用与拓展：如图②，直线 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，借助第（1）问中的结论，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）方法与实践：如图③，直线 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度．

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12. 同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

（1）如图1， $\text{[math]}$ ， E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝．

（2）如图2， $\text{[math]}$ ，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．

（3）如图3． $\text{[math]}$ ，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作 $\text{[math]}$ 交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．

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13. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

（1）导入：如图①，已知 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（2）发现：如图②，直线 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）运用：如图③，已知 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 三点不重合）， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并说明理由．

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14. 几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．

（1）导入：如图1，已知 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（2）发现：如图2，直线 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）运用：如图3，已知 $\text{[math]}$ ， P在射线 $\text{[math]}$ 上运动（点P与点A、B、O三点不重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并说明理由．

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15. 请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ .

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

（1）如图，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

（2）如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁ ，

第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂ ，

第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃ ， …，

第n次操作，分别作∠ABE_n_﹣₁和∠DCE_n_﹣₁的平分线，交点为E_n ．

若∠E_n=1度，那∠BEC等于度

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17. 已知：直线AB与直线CD内部有一个点P ，连接BP ．

（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE ，若∠B+∠PEC＝∠P ，求证：AB∥CD；

（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH ，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD ，求证：AB∥CD；

（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G ， EF和直线AB相交于点F ，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．

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18. 探究题：已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 .

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 $\text{[math]}$ ，然后在平行线间画了一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 后，用鼠标拖动点 $\text{[math]}$ ，分别得到了图 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，小颖发现图 $\text{[math]}$ 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 图中的与 $\text{[math]}$ 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系： ▲ .

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二、铅笔头模型

19. 如图：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 度， $\text{[math]}$ 度，则 $\text{[math]}$ 等于（）度．

A . 50 B . 60 C . 80 D . 90

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20. 如图，已知A₁B∥A_nC，则∠A₁＋∠A₂＋…＋∠A_n等于（）

A . 180°n B . (n＋1)·180° C . (n－1)·180° D . (n－2)·180°

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21. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，若按图中规律继续划分下去，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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22.
观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P₁+…+∠P_n=度．

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23. 如图

（1） [问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由.

（2） [拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系.

（3） [拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE₁E₂的角平分线与∠CE_nE_n_﹣1的角平分线交于点O.若∠E₁OE_n＝m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数.（用含m、n的代数式表示）

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三、乌鸦嘴模型

24. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为.

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25. 如图， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的两边上分别过点A和点C向同方向作射线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则 $\text{[math]}$ 的大小为．

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26. 如图， $\text{[math]}$ ，分别探讨下面四个图形中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的关系，请你从（3）或（4）中任选一个加以说明．

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27.

（1）【感知】如图1， $\text{[math]}$ ， ∠AEP＝50°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数；

（2）【探究】如图2， $\text{[math]}$ ， ∠AEP＝48°，∠PFC＝122°，求∠EPF的度数；

（3）【应用】如图3，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．

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28. 小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.

（1）【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗? 请说明理由.

（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.

（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.

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2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破2 平行线的相关模型

一、猪蹄模型

二、铅笔头模型

三、乌鸦嘴模型

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