2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练3 探索整式运算的规律

修改时间：2024-04-13 浏览次数：49 类型：复习试卷编辑

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一、选择题

1. 计算： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $\text{[math]}$ 的个位数字是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 观察下列各式及其展开式
（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

……

请你猜想（2x﹣1）⁸的展开式中含x²项的系数是（）

A . 224 B . 180 C . 112 D . 48

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3. 观察： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

据此规律，求 $\text{[math]}$ 的个位数字是（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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4. 计算 $\text{[math]}$ ，结果的个位数字是（）

A . 6 B . 5 C . 8 D . 7

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5. 下列按一定规律排列的单项式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，．．，第 $\text{[math]}$ 个单项式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 代数式 $\text{[math]}$ 的末尾数字是（）

A . 0 B . 1 C . 6 D . 8

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7. 如图所示的运算程序中，若开始输入的 $\text{[math]}$ 值为 $\text{[math]}$ ，我们发现第 $\text{[math]}$ 次输出的结果为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 次输出的结果为 $\text{[math]}$ ， ……，则第2023次输出的结果为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a₁＝1，a₂＝2．a₃＝3，a₄＝3，a₅＝6，a₆＝4，a₇＝10，a₈＝5…，则a₉₉+a₁₀₀的值为（　　）

A . 1326 B . 1327 C . 1328 D . 1329

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9. 观察：（x-1）（x+1）＝x²-1，（x-1）（x²+x+1）＝x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）＝x⁴-1，据此规律，当（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝0时，代数式x²⁰²²-1的值为（）

A . 1 B . 0 C . 1或-1 D . 0或-2

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10. 观察下列等式：
①3²﹣1²＝2×4

②5²﹣3²＝2×8

③7²﹣5²＝2×12……

那么第n（n为正整数）个等式为（）

A . n²﹣（n﹣2）²＝2×（2n﹣2） B . （n＋1）²﹣（n﹣1）²＝2×2n C . （2n）²﹣（2n﹣2）²＝2×（4n﹣2） D . （2n＋1）²﹣（2n﹣1）²＝2×4n

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二、填空题

11. 观察下列各式：
$\text{[math]}$ …………①，
$\text{[math]}$ …………②，
$\text{[math]}$ …………③，
……
探索以上式子的规律，试写出第n个等式：．

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12. 请先观察下列等式，再填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，通过观察归纳，写出第n个等式是：（n为正整数）

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13. 作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n个图形时，图形的面积（填写“会”或者“不会”）变化，图形的周长为．

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14. 观察：
$\text{[math]}$
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来．．

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15. 为了求 $\text{[math]}$ 的值，可令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，仿照以上方法计算 $\text{[math]}$ 的值是 .

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三、综合题

16.

（1）计算并观察下列各式填空：
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；

（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
$\text{[math]}$ （） $\text{[math]}$ ；

（3）利用你发现的规律计算： $\text{[math]}$ ；

（4）利用该规律计算： $\text{[math]}$ 的值．

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17. 杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 $\text{[math]}$ （此处 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 $\text{[math]}$ 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$    $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$    $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
上图的构成规律你看懂了吗？

（1）请你直接写出 $\text{[math]}$ ．

（2）杨辉三角还有另一个特征
从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为 $\text{[math]}$ ）都是上一行的数与积．

（3）由此你可写出 $\text{[math]}$ =．

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18. 阅读下面的材料并填空：
①（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ；
②（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝ ▲ × ▲ ；
③（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝ ▲ ＝ $\text{[math]}$ ；
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）……（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）.

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19. 阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： $\text{[math]}$ ．

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；…

（1）第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；

（2）第n个“三角形数”与第 $\text{[math]}$ 个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：+=，请补全等式并说明它的正确性．

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20. 若a^m=aⁿ（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：

（1）若3^x×9^x×27^x=3¹² ，求x的值．

（2）若x=5^m-3，y=4-25^m ，用含x的代数式表示y．

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21. 用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．

（1）观察图形，寻找规律，并填写下表：
图序
①
②
③
④
⑤
⑥
◇
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
☆
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

（2）求出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；

（3）是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．

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22. 观察下列各式：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
……
根据这一规律计算：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ .

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23. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a＋b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；（a＋b）¹＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a＋b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³ ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…
根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a＋b）⁴展开式共有项，系数分别为；

（2）（a＋b）n展开式共有项，系数和为；

（3）计算： $\text{[math]}$

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24. 认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b² ，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³ ， …
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

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25. 对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．

（1）【简单问题】化简
$\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ ；

（4）【复杂问题】化简
$\text{[math]}$ ；

（5）【方法应用】计算
$\text{[math]}$ ．

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26. 如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （用含a、b的代数式分别表示）；

（2）利用（1）的结果，说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的等量关系：

（3）应用所得的公式计算： $\text{[math]}$

（4）如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者的等量关系．

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图序	①	②	③	④	⑤	⑥
◇	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$		$\text{[math]}$
☆	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练3 探索整式运算的规律

一、选择题

二、填空题

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