（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步测试

1. 方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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2. 关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个根是4，那么m的值是（）

A . -3或4 B . $\text{[math]}$ 或7 C . 3或4 D . 3或7

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3. 方程 $\text{[math]}$ 的根是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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4. 关于x，y的二次三项式 $\text{[math]}$ （m为常数），下列结论正确的有（）
①当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
②无论x取任何实数，等式 $\text{[math]}$ 都恒成立，则 $\text{[math]}$
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
④满足 $\text{[math]}$ 的正整数解 $\text{[math]}$ 共有25个

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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5. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则该菱形的周长为（）

A . 40 B . 16 C . 16或20 D . 20

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6. 下列选项中的数是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程可化为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知3是关于x的方程x²－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）

A . 7 B . 10 C . 11 D . 10或11

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9. 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有一个根为0，则m的值为（）

A . 0 B . 1或2 C . 1 D . 2

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10. 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．有以下关于倍根方程的说法：
①方程x²−x−2＝0是倍根方程；②若(x−2)(mx＋n)＝0是倍根方程：则4m²＋5mn＋n²＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²＋3x＋q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac．

其中正确的有（）个

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. 方程 $\text{[math]}$ 的解为.

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12. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的两根为.

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13. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程 $\text{[math]}$ 的根，则这个三角形的周长为．

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14. 已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则该三角形的面积是．

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15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 $\text{[math]}$ 进入其中时，会得到一个新的实数 $\text{[math]}$ ．例如把 $\text{[math]}$ 放入其中，就会得到 $\text{[math]}$ ．现将实数对 $\text{[math]}$ 放入其中，得到实数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 解方程：

（1） (x-5)²=8(x-5)

（2） 2x²-4x-3=0．

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17. 阅读下面的例题，
范例：解方程 $\text{[math]}$ ，

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请参照例题解方程 $\text{[math]}$

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18. 定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“友好方程”，求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 已知：m、n是方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，且m＜n，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求这个抛物线的解析式．

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20. 先化简，再求值：（ $\text{[math]}$ ）÷ $\text{[math]}$ ，其中x的值是方程x²+2x﹣3＝0的解.

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21. 已知关于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m＝0.

（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.

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22. 若关于x的方程mx²-2x+3＝0有两个实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）方程有两个相等的实数根时，求出方程的根.

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23. 阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $\text{[math]}$ 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

（1）问题：方程 $\text{[math]}$ 的解是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ 的解；

（3）应用：如图，矩形草坪 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ ），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点 $\text{[math]}$ ，把长绳 $\text{[math]}$ 段拉直并固定在点 $\text{[math]}$ ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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