北师版数学八年级上册《第一章勾股定理》单元检测A卷

修改时间：2021-09-15 浏览次数：433 类型：单元试卷编辑

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一、单选题

1. 在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（）

A . 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c² B . 如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a²+b²=c² C . 如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a²+b²=c² D . 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形

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2. 一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（）

A . 5 B . 12 C . 13 D . 17

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3. 如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）

A . 140米 B . 120米 C . 100米 D . 90米

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4. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）

A . 16 B . 25 C . 144 D . 169

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5. 一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（）千米．

A . 26 B . 18 C . 13 D . 32

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6. 下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A . 9，12，15 B . 7，24，25 C . 15，36，39 D . 12，15，20

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7. 已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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8. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不能确定

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9. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）

A . 5.3尺 B . 6.8尺 C . 4.7尺 D . 3.2尺

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10. 如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（）

A . 5尺 B . 25尺 C . 13尺 D . 12尺

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11. 如图，在高为 $\text{[math]}$ ，坡面长为 $\text{[math]}$ 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm ．

A . 14 B . 15 C . 16 D . 17

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二、填空题

13. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为.

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14. 如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是.

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则三个半圆面积S₁ ， S₂ ， S₃的关系为．

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16. 在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是．

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17. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为m.

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18. 如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

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三、解答题

19. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c ．若 a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.

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20. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？

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21. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．

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22. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 距离门槛 $\text{[math]}$ 都为1尺（1尺=10寸），则 $\text{[math]}$ 的长是多少?

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23. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升时总是沿最短路线螺旋前进，难道植物也懂数学？
通过阅读以_上信息，解决下列问题：

（1）如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则葛藤绕行一圈的最短路程是多少？

（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈最短爬行100cm，爬行10圈到达树顶，则树干高多少？

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24. 勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．

（1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．

（2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系是：．

（3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的边长分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则正方形 $\text{[math]}$ 的面积是．

（4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系是．

（5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ，分别以三边为直径作半圆．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积等于．

（6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 $\text{[math]}$ 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 $\text{[math]}$ 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？

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