解：①∵AB＝2，OB＝4，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝60°，又∵∠OCB＝60°，

∴△BOC为等边三角形，∴OH＝OBcos30°＝4× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ＝2 $\sqrt{3}$ ，

∴OP＝OH－PH＝2 $\sqrt{3}$ －t，

如图①，过P点作PE⊥OA，垂足为点E，

则EP＝OPcos30°＝3－

\frac{\sqrt{3}}{2}

t，∴S＝

\frac{1}{2}

·OQ·EP＝

\frac{1}{2}

·t·(3－

\frac{\sqrt{3}}{2}

t)＝－

\frac{\sqrt{3}}{4}

t²＋

\frac{\sqrt{3}}{2}

t(0<t<2

\sqrt{3}

)；

②若△OPM为等腰三角形：

(ⅰ)若OM＝PM，如图②，则∠MPO＝∠MOP＝∠POC，

∴PQ∥OC，过点P作PK⊥OC于点K，

∴OQ＝PK＝ $\frac{O P}{2}$ ，即t＝ $\sqrt{3}$ － $\frac{t}{2}$ ，解得t＝ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

此时S＝－

\frac{\sqrt{3}}{4}

×(

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

)²＋

\frac{3}{2}

×

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

＝

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

；

(ⅱ)若OP＝OM，如图③，则∠OPM＝∠OMP＝75°，

∴∠OQP＝∠OMP－∠QOM＝75°－30°＝45°，此时EQ＝EP，即t－( $\sqrt{3}$ － $\frac{t}{2}$ )＝3－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ t，

解得t＝2，此时S＝－

\frac{\sqrt{3}}{4}

×2²＋

\frac{3}{2}

×2＝3－

\sqrt{3}

；

(ⅲ)若OP＝PM，∠POM＝∠PMO＝∠AOB，

则PQ∥OA，此时点Q在AB上，不满足题意，舍去，

综上所述，当△OPM为等腰三角形时，△OPM的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或2 。

江西省崇仁县第二中学2018届数学中考二模试卷