解：为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，

设切点为P（cosθ，sinθ），（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜θ＜0）为圆弧BC上的一点，

过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ+ysinθ=1，

令y=0，得E（ $\frac{1}{\cos θ}$ ，0），令y=﹣1，得F（ $\frac{1 + \sin θ}{\cos θ}$ ，﹣1），

设直线梯形OCFE的面积为S，

则S=（CF+OE）•OC=（ $\frac{1}{\cos θ}$ + $\frac{1 + \sin θ}{\cos θ}$ ）×1= $\frac{2 + \sin θ}{\cos θ}$ ，（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜θ＜0），

S′= $\frac{\cos θ \cos θ - (2 + \sin θ) (- \sin θ)}{\cos^{2} θ}$ = $\frac{1 + 2 \sin θ}{\cos^{2} θ}$ ，

令S′=0，解得θ=﹣ $\frac{π}{6}$ ，

当﹣ $\frac{π}{2} ＜ θ ＜ - \frac{π}{6}$ 时，S′＜0，函数单调递减；当﹣ $\frac{π}{6}$ ＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增．

∴ $θ = - \frac{π}{6}$ 时，面积S取得最小值，最小值为 $\sqrt{3}$ ，

此时CF= $\frac{1 + \sin (- \frac{π}{6})}{\cos (- \frac{π}{6})}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

即当渠底宽为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 米时，所挖的土最少．

2015-2016学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷