解：当线段PB最短时，点P的坐标为(2，3)，此时抛物线的函数关系式为y=(x-1)²+2. 即y=x²-2x+3.

假设在抛物线上存在点Q，使S_△_QMA= S_△_PMA.

设点Q的坐标为(x，x²-2x+3).

(Ⅰ)当点Q落在直线OA的下方时，过点P作直线PC∥AO，交y轴于点C.

∵ PB=3，AB=4，∴ AP=1， ∴ OC=1，∴ C点的坐标为(0，-1).

∵ 点P的坐标是(2，3).

∴ 直线PC的函数关系式为y=2x-1.

∵ S_△_QMA= S_△_PMA，∴ 点Q落在直线y=2x-1上，∴ x²-2x+3=2x-1，解得，x₁=x₂=2，∴ 点Q(2，3). ∴ 点Q与点P重合，∴ 此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△PMA的面积相等

(Ⅱ)当点Q落在直线OA的上方时，

作点P关于点A的对称点D，过点D作直线DE∥AO，交y轴于点E.∵ PA=1，∴ EO=DA=1，∴ 点E、D的坐标分别为(0，1)，(2，5).∴ 直线DE的函数关系式为y=2x+1.∵ S_△_QMA= S_△_PMA，∴ 点Q落在直线y=2x+1上，∴ x²-2x+3=2x+1.解得，x₁=2+

\sqrt{2}

， x₂=2-

\sqrt{2}

.代入y=2x+1，得y₁=5+2

\sqrt{2}

，y₂=5-2

\sqrt{2}

.∴ 此时抛物线上存在点Q₁(2+

\sqrt{2}

，5+2

\sqrt{2}

)，Q₂(2-

\sqrt{2}

，5-2

\sqrt{2}

)，使△QMA与△PMA的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点Q₁(2+

\sqrt{2}

，5+2

\sqrt{2}

)，Q₂(2-

\sqrt{2}

，5-2

\sqrt{2}

)使△QMA与△PMA的面积相等

山东省莒县洛河中学2017届九年级下册数学开学考试试卷