解：图乙剩余部分覆盖的长方体如图丁所示，设其棱长为a，b，c

则2（a+b）=1，2b+c=1⇒a= $\frac{1}{2} - b$ ，c=1﹣2b

长方体体积的V=abc=（ $\frac{1}{2} - b$ ）b（1﹣2b）= $2 b^{3} - 2 b^{2} + \frac{1}{2} b$ ，（0 $< b < \frac{1}{2}$ ）

令g（b）= $2 b^{3} - 2 b^{2} + \frac{1}{2} b$ ，（0 $< b < \frac{1}{2}$ ），g′（b）=4b²﹣4b+ $\frac{1}{2}$ =（3b﹣ $\frac{1}{2}$ ）（2b﹣1）

b $\in (0 ， \frac{1}{6})$ 时，g′（b）＞0，b $\in (\frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$ 时，g′（b）＜0

∴g（b）在（0， $\frac{1}{6}$ ）递增，在（ $\frac{1}{6} ， \frac{1}{2}$ ）递减，

∴当b= $\frac{1}{6}$ 时，长方体体积最大值，V_max=（ $\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$ ）× $\frac{1}{6}$ ×（1﹣2× $\frac{1}{6}$ ）= $\frac{1}{27}$ ．

江苏省淮安市、宿迁市2017-2018学年高三上学期数学期中考试试卷