过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：

${\begin{cases} ∠ E A M = ∠ B C D \\ A E = C F \\ ∠ M E A = ∠ B F C \end{cases}$

∵AB=AC， ∠A=2α，

∴∠EAM=α，

∴∠EAM =∠BCD =α，

∵CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，

∵∠CEF+∠MEA=180°，

∠CFE+∠BFC=180°，

∴∠MEA=∠BFC，

∵若E为AC中点， $A B = A C = 2 \sqrt{5},$

∴AE=CE=CF= $\sqrt{5}$

在△AEM和△CFB中，

${\begin{cases} ∠ E A M = ∠ B C D \\ A E = C F \\ ∠ M E A = ∠ B F C \end{cases}$

∴△AEM≌△CFB(SAS)，

∴设ME=BF =x，

∵AB= AC， AN⊥BC，

∴AN是BC的垂直平分线，

∴MC= MB，

∵∠EBC =45°，

∴∠MCB=∠EBC =45°，

即△BCM是等腰直角三角形，

∴∠BMC=90°，

即CM⊥EF，

∵CE=CF，

∴ME=MF=BF=x，

∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE= $\sqrt{5} x$ ，

由勾股定理得： $C E = \sqrt{C M^{2} + M E^{2}} = \sqrt{5} x,$

$∴ \sqrt{5} x = \sqrt{5},$

∴x=1，

$∴ M C = M B = 2 x = 2$ ，

在 $R t △ M B C$ 中，由勾股定理得：

$B C = \sqrt{M B^{2} + M C^{2}} = 2 \sqrt{2},$

$∴ B N = C N = 12 B C = \sqrt{2},$

在 $R t △ A C N$ 中，由勾股定理得： $A N = \sqrt{A C^{2} - C N^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = 3 \sqrt{2}$

$∴ S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A N = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 6 .$

浙江省宁波市慈溪市2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷