解：∵

⊙ M

为

△ A O B

的外接圆，

$∴$ 点 $M$ 在线段 $O A$ 的中垂线上，

$∴$ 当 $1 \leq t \leq 5$ 时，点 $M$ 的运动路径是在线段 $O A$ 中垂线上的一条线段，

当 $t = 1$ 时，如图 $1$ ，

由（2）知 $∠ O A B = 90 °$ ，

$∴$ 此时 $R t △ O A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是 $O B$ 的中点，

$∵ B (\frac{5}{2} ， - \frac{15}{4})$ ，

$∴ M (\frac{5}{4} ， - \frac{15}{8})$ ；

当 $t = 5$ 时，如图2，

由（2）知， $∠ A O B = 90 °$ ，

$∴$ 此时 $R t △ O A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是 $A B$ 的中点，

$∵ B (\frac{9}{2} ， \frac{9}{4})$ 、 $A (2 ， - 4)$ ，

$∴ M (\frac{13}{4} ， - \frac{7}{8})$ ；

当 $t = 2$ 时，如图3，

由（2）知， $∠ O B A = 90 °$ ，

$∴$ 此时 $R t △ O A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是 $O A$ 的中点，

$∵ A (2 ， - 4)$ ，

$∴ M (1 ， - 2)$ ；

则点 $M$ 经过的路径长度为 $\sqrt{(\frac{5}{4} - 1)^{2} + (- \frac{15}{8} + 2)^{2}} + \sqrt{(1 - \frac{13}{4})^{2} + (- 2 + \frac{7}{8})^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{9 \sqrt{5}}{8} = \frac{5 \sqrt{5}}{4}$ .

三角形的外接圆与外心—浙教版数学九（上）知识点训练