解：可能，理由如下：

如图4-1，当点 $D^{'}$ 在 $B C$ 的下方时，

由题意可知， $O D = O E = O D^{'} ， ∠ E O D = ∠ E O D^{'} = 90 °$ ，

$∴ △ E O D ， △ E O D^{'}$ 是等腰直角三角形，

$∴ ∠ O D E = ∠ D E O = ∠ E D^{'} D = 45 °$ ，

$∴ ∠ D E D^{'} = 90 °$ ，

设 $E D^{'}$ 与 $B C$ 交于点M，

$∵ ∠ A = ∠ B = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $A B M E$ 是矩形，

$∴ A E = B M = a ， A B = E M = 4 ， ∠ E M F = 90 °$ ，

$∴ △ E M F$ 是等腰直角三角形，

$∴ E M = M F = 4$ ，

$∴ B M = C F = 2$ ，即 $a = 2$ ；

如图4-2，当点 $D^{'}$ 在 $B C$ 的上方时，延长 $D^{'} E$ 交 $B C$ 于点M，

由题意可知， $O D = O E = O D^{'} ， ∠ E O D = ∠ E O D^{'} = 90 °$ ，

$∴ △ E O D ， △ E O D^{'}$ 是等腰直角三角形，

$∴ ∠ O D E = ∠ D E O = ∠ E D^{'} D = 45 °$ ，

$∴ ∠ D E D^{'} = ∠ A E M = 90 ° ， ∠ F E M = 45 °$ ，

$∵ ∠ A = ∠ B = ∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $A B M E$ ， $E M C D$ 是矩形，

$∴ A E = B M = a ， A B = E M = 4 ， ∠ E M F = 90 ° ， D E = C M = 8 - a$ ，

$∴ △ E M F$ 是等腰直角三角形，

$∴ E M = M F = 4$ ，

$∴ B F + C M = 4$ ，

即 $8 - a + 8 - a = 4$ ，解得 $a = 6$ ；

综上，点E是否有可能恰好在 $⊙ O$ 上，此时a的值为2或6.

点与圆的位置关系—浙教版数学九（下）知识点训练