解：由题意知：直线 $l$ 的斜率 $k$ 存在且不为零，

设 $l : y - 1 = k x$ ， $k \neq 0$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A B$ 中点 $Q (x_{0}, y_{0})$ ，

联立 $\{\begin{array}{l} y - 1 = k x \\ \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \end{array}$ ，消去 $y$ 并整理得： $(1 + 2 k^{2}) x^{2} + 4 k x - 4 = 0$ ，

$Δ > 0$ 恒成立，

则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{4 k}{2 k^{2} + 1}$ ， $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - \frac{2 k}{2 k^{2} + 1}$ ， $y_{0} = k x_{0} + 1 = 1 - \frac{2 k^{2}}{1 + 2 k^{2}} = \frac{1}{1 + 2 k^{2}}$ ，

$Q (- \frac{2 k}{1 + 2 k^{2}}, \frac{1}{1 + 2 k^{2}})$ ，

则 $l^{'}$ 方程为： $y - y_{0} = - \frac{1}{k} (x - x_{0})$ ，即 $y - \frac{1}{1 + 2 k^{2}} = - \frac{1}{k} (x + \frac{2 k}{1 + 2 k^{2}})$ ，

化简得： $y = - \frac{1}{k} x - \frac{1}{2 k^{2} + 1}$

设直线 $l^{'}$ 在 $y$ 轴上截距为 $m$ ，令 $x = 0$ 得 $m = - \frac{1}{2 k^{2} + 1}$ ，

由 $0 < \frac{1}{2 k^{2} + 1} < 1$ 可知 $- 1 < m < 0$ ，

所以直线 $l^{'}$ 在 $y$ 轴上的截距的取值范围为 $(- 1, 0)$ .

广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷