解：设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点 $B_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{2} t$ 个单位长度，此时点 $B_{1}$ 表示的数是 $\frac{3}{2} t + 4$ ，

∴ $B_{1} A = \frac{3}{2} t + 4 - 1 = \frac{3}{2} t + 3$ ，

根据题意，得到点 $Q$ 表示的数是 $2 t + 7$ ，点 $9$ 表示的数是 $- 2 - t$ ，

∴ $P Q = 2 t + 7 - (- 2 - t) = 9 + 3 t$ ，

∴ $k P Q - B_{1} A = k (9 + 3 t) - (\frac{3}{2} t + 3) = (9 k - 3) + (3 k - \frac{3}{2}) t$ ，

∵常数k使得 $k P Q - B_{1} A$ 的值与它们的运动时间无关，

∴ $3 k - \frac{3}{2} = 0$ ，

解得 $k = \frac{1}{2}$ ，

故 $9 k - 3 = \frac{3}{2}$ ，

故当 $k = \frac{1}{2}$ 时，常数k使得 $k P Q - B_{1} A$ 的值与它们的运动时间无关，此时值为 $\frac{3}{2}$ ．

湖北省随州市四校联考2023-2024学年七年级上学期期中数学试题