解：存在，理由如下：

①若 $C D = C Q$ ，如图：

由 $C D = C Q$ 得： $3 t = 10$ ，∴ $t = \frac{10}{3}$ ；

②若 $C D = C Q$ ，过D作 $D H ⊥ B C$ 于H，如图：

∵平行四边形ABCD的面积为 $160 c m^{2}$ ， $B C = A D = 20 c m$ ，

∴ $B C \cdot D H = 160$ ，∴ $D H = 8 (c m)$ ，

∴ $C H = \sqrt{D C^{2} - D H^{2}} = \sqrt{1 0^{2} - 8^{2}} = 6$ ，

∵ $C D = D Q$ ， $D H ⊥ B C$ ，∴ $C Q = 2 C H = 12$ ，∴ $3 t = 12$ ，∴ $t = 4$ ；

③若 $D Q = C Q$ ，过D作 $D H ⊥ B C$ 于H，如图：

在 $R t △ D Q H$ 中， $Q H = C Q - C H = 3 t - 6$ ， $D H = 8$ ， $D Q = C Q = 3 t$ ，

由勾股定理得： $Q H^{2} + D H^{2} = D Q^{2}$ ， ${(3 t - 6)}^{2} + 8^{2} = {(3 t)}^{2}$ ，解得： $t = \frac{25}{9}$ ；

综上所述，存在t的值，使得 $△ D Q C$ 是等腰三角形，t的值为：4或 $\frac{10}{3}$ 或 $\frac{25}{9}$ ．

2023-2024学年人教版八年级下册期末数学全真模拟试卷(一)