解：①如图1，连接

C E

．

$∵ D B ∥ A F$ ， $∠ F = ∠ D B C = ∠ A B D = 45 °$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ A E C = 90 °$ ，

$∵ E F = 2 A E = m$ ，

$∴ C F = \sqrt{2} E F = \sqrt{2} m$ ，

$∵ A F = A E + E F = \frac{3}{2} m$ ，

$∴ B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A F = \frac{3 \sqrt{2}}{4} m$ ，

$∴ B C = C F - B F = \sqrt{2} m - \frac{3 \sqrt{2}}{4} m = \frac{\sqrt{2}}{4} m$ ．

② $∵ B D = m$ ，

$∴ \frac{B C}{B D} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ．

$∵ F Q = \sqrt{2} C P$ ，

$∴$ 可令 $C P = t$ ， $F Q = \sqrt{2} t$ ．

$∴ P F = \sqrt{2} m - t$ ．

$∵ ∠ F = ∠ D B C = 45 °$ ，故分为两种情况：

ⅰ）如图2，当 $△ F Q P ∽ △ B D C$ 时，

$\frac{P F}{F Q} = \frac{B C}{B D}$ ，

$∴ \frac{\sqrt{2} m - t}{\sqrt{2} t} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，

$∴ t = \frac{2}{3} \sqrt{2} m$ ，

$∴ P F = \sqrt{2} m - \frac{2}{3} \sqrt{2} m = \frac{\sqrt{2}}{3} m$ ，

$∴ \frac{P F}{P C} = \frac{1}{2}$ ．

ⅱ）如图3，当 $△ F P Q ∽ △ B D C$ 时，

$\frac{P F}{F Q} = \frac{B D}{B C}$ ，

$∴ \frac{\sqrt{2} m - t}{\sqrt{2} t} = 2 \sqrt{2}$

$∴ t = \frac{\sqrt{2}}{5} m$ ．

$∴ P F = \sqrt{2} m - \frac{\sqrt{2}}{5} m = \frac{4 \sqrt{2}}{5} m$ ，

$∴ \frac{P F}{P C} = 4$

综上所述， $\frac{P F}{P C}$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $4$ ．

浙江省温州市2024年九年级学生学科素养检测中考一模数学试卷