证明：连接

B D

，如图：

$∵$ $△ A C B$ 与 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形，

$∴ ∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $E C = D C$ ，

$∴ ∠ A C E + ∠ A C D = ∠ B C D + ∠ A C D$ ，

$∴ ∠ A C E = ∠ B C D$ ，

在 $△ A C E$ 和 $△ B C D$ 中，

${\begin{array}{l} C E = C D \\ ∠ A C E = ∠ B C D \\ A C = B C \end{array}$ ，

$∴ △ A C E ≌ △ B C D (S A S)$ ，

$∴ B D = A E$ ， $∠ B D C = ∠ E$ ，

$∵ ∠ E + ∠ C D E = 90 °$ ，

$∴ ∠ B D C + ∠ C D E = 90 °$ ，即 $∠ A D B = 90 °$ ，

在 $R t △ A D B$ 中，根据勾股定理得： $B D^{2} + A D^{2} = A B^{2}$ ，

$∴ A E^{2} + A D^{2} = A B^{2}$ ，

$∴ A E^{2} + A D^{2} = {(\sqrt{2} A C)}^{2} = 2 A C^{2}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练提升题