解：①延长

B C

，

A E

，它们相交于点

F

，

$∵$ 等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，

且 $A E ⊥ B E$ ， $∴ ∠ A E B = 90 °$ ，又 $∵ ∠ B D C = ∠ A D E$ ， $∴ ∠ C B D = ∠ C A E$ ，

$∴ △ B C D ≌ △ A C F (A S A)$ ， $∴ B D = A F$ ．

$∵ B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $∴ ∠ A B E = ∠ F B E$ ，

$∵ A E ⊥ B E$ ， $∴ ∠ A E B = ∠ F E B = 90 °$ ，且 $B E$ 为公共边， $∴ △ A B E ≌ △ F B E (A S A)$ ， $∴ A E = F E$ ，

即 $A F = 2 A E$ ， $∴ B D = 2 A E$ ．

② $∠ B E C$ 的大小不变，总为 $45 °$ ，理由如下：

作 $C M ⊥ B D$ ， $C N ⊥ A E$ ，垂足分别是 $M$ ， $N$ ， $∴ ∠ B M C = ∠ A N C = 90 °$ ，

由①可知： $∠ C B D = ∠ C A E$ ， $A C = B C$ ，

$∴ △ B C M ≌ △ A C N (A A S)$ ， $∴ C M = C N$ ，

$∴ E C$ 是 $∠ M E N$ 的角平分线， $∴ ∠ B E C = \frac{1}{2} ∠ M E N = \frac{1}{2} \times 90 ° = 45 °$ ．

2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷（五）（三年内高频考点）