解：当

△ C P Q

为直角三角形时，分两种情况：

当点P在点B的左侧时，如下图所示， $∠ C Q P = 90 °$ ，

$∵ ∠ C Q P = 90 °$ ， $∠ A Q P = 60 °$ ，

$∴$ $∠ A Q C = ∠ C Q P - ∠ A Q P = 30 °$ ，

$∵$ $△ A B P ≌ △ A C Q$ ，

$∴$ $∠ A P B = ∠ A Q C = 30 °$ ，

$∴$ $∠ O P Q = ∠ A P Q - ∠ A P B = 60 ° - 30 ° = 30 °$ ，

$∴$ $∠ B O Q = 180 ° - ∠ O P Q - ∠ A Q P = 90 °$ ，即 $A Q ⊥ B C$ ，

$∵$ $A B = A C = B C$ ， $A Q ⊥ B C$ ，

$∴$ $O C = \frac{1}{2} B C = 1$ ，

$∵$ 在 $△ C O Q$ 中， $∠ O Q C = 30 °$ ， $∠ C O Q = 90 °$ ，

$∴$ $C Q = 2 O C = 2$ ，

$∴$ $B P = C Q = 2$ ；

当点P在点B的右侧时，如下图所示， $∠ C P Q = 90 °$ ，

$∵ ∠ C P Q = 90 °$ ， $∠ A P Q = 60 °$ ，

$∴$ $∠ A P B = ∠ C P Q - ∠ A P Q = 30 °$ ，

$∵$ $∠ A B C = 60 °$ ，

$∴$ $∠ B A P = 180 ° - ∠ A B P - ∠ A P B = 180 ° - 60 ° - 30 ° = 90 °$ ，

$∴$ $B P = 2 A B = 2 \times 2 = 4$ ．

综上可知， $B P$ 的长为1或4．

【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测

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