解：①证明：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

$∴ ∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B A D ， A B C D ，$

∴∠BAC=∠EAF

$∵ ∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D ，$

∴∠BAE=∠CAF，

∴∠BAE=∠M，

∴∠FAC=∠M，

∵ ∠AFC=∠MFA，

∴△FAC∽△FMA，

$∴ \frac{F A}{F M} = \frac{F C}{F A} ，$

∴FA²=FC·FM.

②解：∵ $A F = 4 ， C F = 2 ， ∴ F M = \frac{F A}{F C} = 8$

∴CM=FM-FC=8-2=6.

由①知， $F A C \sim F M A ， ∴ \frac{A C}{M A} = \frac{F C}{F A} ，$ 即 $\frac{A C}{10} = \frac{2}{4} ，$

∴AC=5

由①同理得，∠DAN=∠CAM，

∵AD∥BC，

∴∠DAN=∠N，

∴∠CAM=∠N，

由①知，∠NAC=∠M，

∴△NAC∽△AMC，

$∴ \frac{A C}{C M} = \frac{A N}{A M} ，$

$∴ \frac{A C}{C M} = \frac{A N}{A M} ，$ 即 $\frac{5}{6} = \frac{A N}{10} ，$

解之： $A N = \frac{25}{3}$
∴ $F N = A N - A F = \frac{25}{3} - 4 = \frac{13}{3}$

2023-2024学年浙教版数学九年级（上）期末仿真模拟卷（四）（九上全册）