解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，

∵BC＝CD，∠CAB＝30°，

∴∠DAC＝30°．

∵∠ABC＝105°，

∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，

∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，

∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，

∴AD＞CD符合题意，

∴AD＝AC＝4；

②当AB＝CD时，

如图，过点D作DE⊥AC于点E，

∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，

∴∠DAC＝45°，

∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，

又∵∠DAC＝30°，

∴∠ACD＞∠DAC，

∴AD＞CD，符合题意．

设CE＝x，则 $AE = DE = \sqrt{3} x$ ，

∵AC＝AE+CE，即4＝x+ $\sqrt{3}$ x，

∴x＝ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

∴AE＝DE＝ $\sqrt{3}$ × $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ＝ $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

∴AD＝ $\sqrt{2}$ AE＝ $\sqrt{2}$ × $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ ＝ $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

综上可知AD的值为4或 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ ．

【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略8 圆内四边形