解：以点D为旋转中心，将

Δ A C D

绕点D顺时针旋转

120 °

，得

Δ B D F

，连接AF，

∴ $A D = D F$ ， $∠ A D F = 120 °$ ， $A C = B F$ ，

∴ $∠ D A F = ∠ D F A = 30 °$ ，

当A、B、F三点共线时，AF最大，

∵ $A B = 4$ ， $A C = 8$ ，

∴ $A F = A B + B F = A B + A C = 12$ ，

如图 $Δ A D F$ 中，过点D作 $D E ⊥ A F$ ，且 $∠ D A F = ∠ D F A = 30 °$ ，

∴ $D E = \frac{1}{2} A D$ ， $A E = \frac{1}{2} A F$ ，

∵ $A D = \sqrt{{(D E)}^{2} + {(A E)}^{2}} = \sqrt{{(\frac{1}{2} A D)}^{2} + {(\frac{1}{2} A F)}^{2}}$

化简得： $A D = \frac{\sqrt{3}}{3} A F$ ，当AF取得最大值时，AD取得最大值，

∴ $A D = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 12 = 4 \sqrt{3}$ ，

∴AD的最大值为 $4 \sqrt{3}$ ．

2023-2024学年广东省（人教版）八年级（上）数学期末模拟卷（一）