解：

①

解：

∵ D P

平分

∠ B D E

，

$∴ ∠ B D P = ∠ E D P$ ．

又 $∵ D B = D E$ ， $D P = D P$ ，

$∴ △ B D P ≌ △ E D P (S A S)$ ．

$∴ ∠ D B P = ∠ E = 90 °$ ， $B P = E P$ ．

$∵ A D = A B$ ， $∠ A = 90 °$ ，

$∴ ∠ A B D = 45 °$ ．

$∴ ∠ P B F = 45 °$ ．

$∴ △ P B F$ 是等腰直角三角形．

$∴ P B = \sqrt{2} P F$ ．

设 $P F = x$ ，则 $P B = P E = 1 - x$ ．

$∴ 1 - x = \sqrt{2} x$ ，

解得 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

$∴ P F = \sqrt{2} - 1$ ．

$②$ 解：延长 $B F$ 至点 $B_{1}$ ，使得 $F B_{1} = F B$ ，连接 $D B_{1}$ ，交 $E F$ 于点 $P$ ，连接 $P B$ ，如解图所示，则此时 $△ B D P$ 的周长最小．

$∵ A F = B D = \sqrt{2}$ ， $A B = 1$ ，

$∴ F B_{1} = F B = \sqrt{2} - 1$ ．

$∴ A B_{1} = \sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 2 \sqrt{2} - 1$ ．

由轴对称的性质，得 $∠ P B F = ∠ P B_{1} F$ ，

$∴ t a n ∠ P B F = t a n ∠ P B_{1} F = \frac{A D}{A B_{1}} = \frac{1}{2 \sqrt{2} - 1} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{7}$ ．

广东省东莞市石竹实验学校2023年中考二模数学试卷