四边形AECF的面积不变．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S_△ABE=S_△ACF，

故S_四边形AECF=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值；

作AH⊥BC于H点，如图所示：

∵ $∠ A H B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，

∴ $∠ B A H = 90 ° - 60 ° = 30 °$ ，

∴ $B H = \frac{1}{2} A B = 4$ ，

在Rt△ABH中，根据勾股定理得：

$A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = 4 \sqrt{3}$ ，

∴S_四边形AECF=S_△ABC= $\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H = 16 \sqrt{3}$ ；

∵S_△CEF=S_四边形AECF-S_△AEF= $\frac{1}{2}$ S_菱形ABCD-S_△AEF，

∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，

∵△AEF为等边三角形，

∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，

∵当AE⊥BC时，AE最小，

∴AE的最小值为AH的长 $4 \sqrt{3}$ ，

过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：

∵△AEF为等边三角形，

∴ $A F = E F = A E = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A E F = 60 °$ ，

∴ $E M = M F = \frac{1}{2} E F = 2 \sqrt{3}$ ，

∴ $A M = \sqrt{A E^{2} - E M^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} = 6$ ，

∴ $S_{Δ A E F} = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 6 = 12 \sqrt{3}$ ，

∴ ${S_{△}}_{C E F} = {S_{四边形}}_{A E C F} - {S_{△}}_{A E F} = 16 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ ，

即△CEF的面积的最大值为 $4 \sqrt{3}$ ．

广东省汕头市潮南区两英镇2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（A）