解：如图，延长

M N ， B C

交于点

Q

．

∵ $A D ∥ B C$ ，

∴ $△ D M P ∽ △ C Q P$ ．

又∵ $D P = 1$ ，正方形 $A B C D$ 边长为3，

∴ $C P = 2$

∴ $\frac{M D}{Q C} = \frac{M P}{Q P} = \frac{D P}{C P} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $Q C = 2 M D$ ， $Q P = 2 M P$ ，

设 $M D = x$ ，则 $Q C = 2 x$ ，

∴ $B Q = 3 + 2 x$ ．

∵ $∠ B M P = ∠ M B C$ ，即 $∠ B M Q = ∠ M B Q$ ，

∴ $M Q = B Q = 3 + 2 x$ ．

∴ $M P = \frac{1}{3} M Q = \frac{3 + 2 x}{3}$ ．

在 $R t △ D M P$ 中， $M D^{2} + D P^{2} = M P^{2}$ ，

∴ $x^{2} + 1^{2} = {(\frac{3 + 2 x}{3})}^{2}$ ．

解得： $x_{1} = 0$ （舍）， $x_{2} = \frac{12}{5}$ ．

∴ $M D = \frac{12}{5}$ ．

北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（A）