解：①如图2在旋转过程中，

∠ O A G'

成为直角有两种情况：

$($ Ⅰ $) α$ 由 $0^{∘}$ 增大到 $9 0^{∘}$ 过程中，当 $∠ O A G' = 9 0^{∘}$ 时，

$∵ O A = O D = \frac{1}{2} O G = \frac{1}{2} O G'$ ，

$∴$ 在 $R t △ O A G'$ 中，sin∠AGO= $\frac{O A}{O G^{'}} = \frac{1}{2}$ ，

$∴ ∠ A G' O = 3 0^{∘}$ ，

$∵ O A ⊥ O D ， O A ⊥ A G'$ ，

$∴ O D / / A G'$ ，

$∴ ∠ D O G' = ∠ A G' O = 3 0^{∘}$ ，

即 $α = 3 0^{∘}$ ；

$($ Ⅱ $) α$ 由 $9 0^{∘}$ 增大到 $18 0^{∘}$ 过程中，当 $∠ O A G' = 9 0^{∘}$ 时，

同理可求 $∠ B O G' = 3 0^{∘}$ ，

$∴ α = 18 0^{∘} - 3 0^{∘} = 15 0^{∘}$ ．

综上所述，当 $∠ O A G' = 9 0^{∘}$ 时， $α = 3 0^{∘}$ 或 $15 0^{∘}$ ．

$②$ 如图3，

当旋转到A、O、 $F'$ 在一条直线上时， $A F'$ 的长最大，

$∵$ 正方形ABCD的边长为1，

$∴ O A = O D = O C = O B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$∵ O G = 2 O D$ ，

$∴ O G' = O G = \sqrt{2}$ ，

$∴ O F' = 2$ ，

$∴ A F' = A O + O F' = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$ ，

$∵ ∠ C O E' = 4 5^{∘}$ ，

$∴$ 此时 $α = 31 5^{∘}$ ．

苏科版数学八年级下学期复习微专题训练6 图形的旋转