解：①猜想：

A M = C N

.

如图，连结 $A D$ .

∵ $O A = O D$ ， $∠ A O D = 60 °$ ，

∴ $△ O A D$ 是等边三角形.

∴ $O A = O D = A D$ ， $∠ D = 60 °$ .

∵ $O C = O D$ ， $∠ B O C = ∠ A O D = 60 °$ ，

∴ $A D = O C$ ， $∠ D = ∠ B O C = 60 °$ .

又∵ $∠ D A P = ∠ D C P$ ，

∴ $△ A D M ≌ △ C O N$ .

∴ $A M = C N$ .

②∵ $⊙ O$ 的半径为1，

∴ $O A = O B = O C = O D = 1$ .

∵ $∠ P = ∠ D = 60 °$ ， $∠ A O D = 60 °$

∴ $∠ P = ∠ A O D$ .

又∵ $∠ B A P = ∠ B A P$ ，

∴ $△ A O M ∽ △ A P N$ .

∴ $\frac{P A}{1} = \frac{A N}{A M}$ ，即 $P A = \frac{A N}{A M}$ .

∵ $∠ B O C = ∠ P = 60 °$ ， $∠ C = ∠ C$ ，

∴ $△ C O N ∽ △ C P M$ .

∴ $\frac{P C}{1} = \frac{C M}{C N}$ ，即 $P C = \frac{C M}{C N}$ .

∵ $△ A D M ≌ △ C O N$ ，

∴ $A M = C N$ ， $D M = O N$ .

∴ $P A + P C = \frac{A N}{A M} + \frac{C M}{C N} = \frac{1 + O N + 1 + O M}{A M} = \frac{1 + D M + 1 + O M}{A M} = \frac{3}{A M}$

浙江省杭州市富阳区2022-2023学年九年级上学期期末学业水平测试数学试题