解：如下图，连接

B D

，

∵ $B O$ 的延长线与 $A C$ 的交点 $G$ 恰好为 $A C$ 的中点，

∴ $O G ⊥ A C$ ，即 $∠ O G C = ∠ C A D = 90 °$ ，

∴ $B G ∥ A D$ ，

∴ $∠ O B E = ∠ D A E$ ，

又∵ $B E = A E$ ， $∠ O E B = ∠ D E A$ ，

∴ $△ O B E ≌ △ D A E (A S A)$ ，

∴ $O B = D A$ ，

∵ $C D$ 为 $⊙ O$ 直径， $A B ⊥ C D$ ，

∴ $\overset{⌢}{D A} = \overset{⌢}{D B}$ ，

∴ $D A = D B$ ，

∴ $O D = O B = D B$ ，即 $△ O B D$ 为等边三角形， $∠ B O D = 60 °$ ，

∵ $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，

∴ $O B = r$ ， $O E = D E = \frac{1}{2} O D = \frac{1}{2} r$ ，

∴ $B E = \sqrt{O B^{2} - O E^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} r$ ，

∴ $A B = 2 B E = \sqrt{3} r$ ，

∵ $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{B D}$ ，

∴ $∠ B A D = \frac{1}{2} ∠ B O D = 30 °$ ，

∴ $B F = \frac{1}{2} A B = \frac{\sqrt{3}}{2} r$ ，

∴ $A F = \sqrt{A B^{2} - B F^{2}} = \frac{3}{2} r$ ，

∵ $△ O B E ≌ △ D A E$ ，

∴ $S_{△ O B E} = S_{△ D A E}$ ，

∴ $S_{阴影} = S_{△ A B F} - S_{△ D A E} - (S_{扇形 O B D} - S_{△ O B E})$

$= S_{△ A B F} - S_{扇形 O B D}$

$= \frac{1}{2} A F \cdot B F - \frac{60 °}{360 °} π r^{2}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} r \times \frac{\sqrt{3}}{2} r - \frac{60 °}{360 °} π r^{2}$

$= \frac{3 \sqrt{3}}{8} r^{2} - \frac{1}{6} π r^{2}$ .

浙江省杭州市滨江区2022—2023学年九年级上学期数学期末考试卷