解：如图：过C作

C H ⊥ B D

于点H，

$∵ A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $B G$ 平分 $∠ A B D$ ，

$∴ ∠ B A C = ∠ D A C = ∠ C B D = ∠ C D B$ ，同(1)可证得 $B C = D C = C G$ ，

∴ $s i n ∠ B A C = s i n ∠ C B D = \frac{1}{3}$ ，

设 $C H = m$ ，则 $C B = C D = C G = 3 m$ ， $B H = D H = 2 \sqrt{2} m$ ，

$∴ B D = 4 \sqrt{2} m$ ，

∵ $B F ∥ C D$ ，

$∴ ∠ B F C = ∠ A C D$ ，

$∵ ∠ A C D = ∠ A B D$ ，

$∴ ∠ B F C = ∠ A B D$ ，

又 $∵ ∠ B C F = ∠ A D B$ ，

$∴ △ B C F ∽ △ A D B$ ，

$∴ \frac{B C}{A D} = \frac{C F}{D B}$ ，

$∴ \frac{3 m}{6} = \frac{C F}{4 \sqrt{2} m}$ ，

$∴ C F = 2 \sqrt{2} m^{2}$ ，

$∴ F G = C G - C F = 3 m - 2 \sqrt{2} m^{2}$ ，

∴当 $m = - \frac{3}{2 \cdot (- 2 \sqrt{2})} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ 时， $F G$ 最大，最大值为 $F G = \frac{- 9}{4 \times (- 2 \sqrt{2})} = \frac{9 \sqrt{2}}{16}$ ，

此时， $B C = \frac{9 \sqrt{2}}{8}$ ，

如图：作直径 $C P$ ，连接 $B P$ ，

则 $s i n ∠ B A C = s i n ∠ B P C = \frac{1}{3}$ ，

$∴ P C = 3 B C = \frac{27 \sqrt{2}}{8}$ ，

∴此时圆O的半径为 $\frac{27 \sqrt{2}}{16}$ .

浙江省宁波市南三县2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学