解：①如图2中，连接BP，作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，EM＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝ $= \sqrt{5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{21}$

∵S_△_BEF＝S_△_PBE+S_△_PBF，PH⊥BE，PG⊥BF，

∴ $\frac{1}{2}$ BF•EM＝ $\frac{1}{2}$ BE•PH+ $\frac{1}{2}$ BF•PG，

∵BE＝BF，

∴PH+PG＝EM＝ $\sqrt{21}$ ，

∵四边形PGQH是平行四边形，

∴四边形PGQH的周长＝2（PH+PG）＝2 $\sqrt{21}$ ．

②过点Q作QM∥EF交BC于M，延长HQ交BC于N，延长GQ交BF于R，连接EM，如图3，

∵PH⊥BE，PG⊥BF，四边形PHQG是平行四边形，

∴HN⊥BF，GR⊥BE，HP＝QG，

由（1）知：∠BEF＝∠EFB，

∵QM∥EF，

∴∠NMQ＝∠EFB＝∠BEF，

∴△MNQ∽△EHP∽△FGP，

∴ $\frac{N M}{E H} = \frac{N Q}{H P} = \frac{N Q}{Q G}$

∵HN⊥BF，GR⊥BE，

∴∠BHN＝∠QGN，

∴△BHN∽△QGN，

∴ $\frac{B N}{Q N} = \frac{N M}{H E}$ ，即 $\frac{B N}{B H} = \frac{Q N}{Q G}$

∴ $\frac{B N}{B H} = \frac{M M}{H E}$ ，即 $\frac{B N}{B H} = \frac{M M}{H E} = \frac{B N + N M}{B H + H E} = \frac{B E}{B M}$

∴△BNH∽△BME，

∴EM⊥BF，

如图4，同理可得：FS⊥BE，

即：点Q的运动轨迹为平行于点M的线段MS，M为△BEF中BF边上的高的垂足，S为△BEF中BE边上的高的垂足，

∴MS∥EF，

∴△BSM∽△BEF，

∴ $\frac{M S}{E F} = \frac{B M}{B F}$

由①知：AE＝BM＝2，BF＝5，EM＝ $\sqrt{21}$ ，

∴MF＝3，

在Rt△EFM中，EF＝ $\sqrt{E M^{2} + K F^{2}} = \sqrt{(\sqrt{21})^{2} + 3^{2}} = \sqrt{30}$

则： $\frac{M S}{\sqrt{30}} = \frac{2}{5}$ ，即：MS＝ $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ ，

∴点Q的运动路径长为 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ ．

浙江省金华市东阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷