解：如图，过点M作MN⊥AC于点N，

∵抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 4$ 与y轴交于点B，

当 $x = 0$ 时， $y = - 4$ ，

∴ $B (0 ， - 4)$ ，即OB=4，

∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，

∴ $M (m ， \frac{1}{2} m^{2} + m - 4)$ ，

∴ $O N = - m$ ， $M N = - (\frac{1}{2} m^{2} + m - 4) = - \frac{1}{2} m^{2} - m + 4$ ，

∴ $A N = m - (- 4) = m + 4$ ，

∴ $S_{△ A B M} = S_{△ A N M} + S_{梯形 M N O B} - S_{△ A O B} = \frac{1}{2} (4 + m) (- \frac{1}{2} m^{2} - m + 4) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} m^{2} - m + 4 + 4) (- m) - \frac{1}{2} \times 4$

$= - m^{2} - 4 m = - {(m + 2)}^{2} + 4 (- 4 < m < 0)$ ，

∴当 $m = - 2$ 时，S有最大值，最大值为 $4$ ，

∴S关于m的函数关系式为 $S = - m^{2} - 4 m$ ， S的最大值为4．

广东省阳江市阳春市2022-2023学年九年级上学期12月期末数学试题